分数阶 Anderson 模型的 Lifshitz 尾

我们考虑 $\ell^2(\mathbb Z^d)$ 上的 $d$ 维分数阶 Anderson 模型 $(-\Delta)^\alpha+ V_\omega$，其中 $0<\alpha\leq 1$。此处 $-\Delta$ 为负离散拉普拉斯算子，$V_\omega$ 为由独立同分布随机变量组成的随机 Anderson 势。我们证明该模型在谱下边缘处以指数 $d/ (2\alpha)$ 呈现 Lifshitz 尾。为此，我们尤其证明了负离散分数阶拉普拉斯算子的非对角矩阵元为负，并满足双边估计 $$\frac{c_{\alpha,d}}{|n-m|^{d+2\alpha}} \leq -(-\Delta)^\alpha(n,m)\leq \frac{C_{\alpha,d}}{|n-m|^{d+2\alpha}}$$ 其中 $c_{\alpha,d}$、$C_{\alpha,d}$ 为正常数，且对所有 $n\neq m\in\mathbb Z^d$ 成立。