Lie-Cartan 模与上同调

作为 [Duan-Shu-Yao] 的续篇，我们在此引入一个范畴 $\mathscr{LC}$，它源于 [Duan-Shu-Yao] 中为多项式向量场李代数定义的 BGG 范畴 $\mathcal{O}$。$\mathscr{LC}$ 的对象是所谓的 Lie-Cartan 模，它们同时具有李模结构和相容的 $R$-模结构（$R$ 表示相应的多项式环）。这一术语是自然的，源自微分几何中的仿射联络，通过它将拓扑中的结构层与几何中的向量场整合于微分流形之上。在本文中，我们研究 Lie-Cartan 模及其范畴与上同调性质。范畴 $\mathscr{LC}$ 是 Abel 的，并且是一个带深度的“最高权范畴”。值得注意的是，范畴 $\mathcal{O}$ 中的余标准对象集恰好代表了 $\mathscr{LC}$ 的单对象的同构类。随后我们建立了该范畴的上同调（称为 $\mathscr{uLC}$-上同调），推广了 Chevalley-Eilenberg 上同调理论。另一个显著结果表明，在基本情形 $\mathfrak{g}= W(n)$ 下，$\mathscr{uLC}$-上同调中多项式代数 $R$ 的扩张环 $\text{Ext}^\bullet_{\mathscr{uLC}}(R,R)$ 同构于一般线性李代数 $\mathfrak{gl}(n)$ 的通常上同调环 $H^\bullet(\mathfrak{gl}(n))$。