随机自伴非厄米矩阵的能级密度与能级间距分布

我们研究了随机矩阵 $M=AF\neq M^{\dagger}$ 的能级密度 $\sigma(x)$ 和能级间距分布 $p(s)$，其中 $F$ 是一个（对角）内积，$A$ 是一个随机实对称或复厄米矩阵，其独立元素服从均值为零且具有有限高阶矩的概率分布 $q(x)$。尽管 $M$ 不是厄米的，但它关于 $F$ 是自伴的，因此具有纯实特征值。我们发现能级密度 $\sigma_F(x)$ 与底层分布 $q(x)$ 无关，仅由 $F$ 决定，因此推广了维格纳的半圆分布 $\sigma_W(x)$。我们发现能级间距分布 $p(s)$ 与 $q(x)$ 无关，依赖于内积 $F$ 以及 $A$ 是实矩阵还是复矩阵，因此推广了维格纳关于能级间距的猜想。我们的结果暗示了著名的高斯正交系综和高斯幺正系综存在依赖于 $F$ 的推广形式。