PT 对称双势阱中的能级交叉

我们考虑一个具有虚双势阱的 PT 对称立方振荡器。我们证明了存在无限多个具有确定选择定则的能级交叉。将正参数 $\hbar$ 从大值减小，在某个值 $\hbar_n$ 处，我们发现能级对 $(E_{2n+1}(\hbar),E_{2n}(\hbar))$ 的交叉变为能级对 $(E_n^+(\hbar),E_n^-(\hbar))$。对于大参数，一个能级是沿不同路径具有不同半经典行为 $E_j^\pm(\hbar)$ 的全纯函数 $E_m(\hbar)$。相应的 $m$-节点离域态 $\psi_m(\hbar)$ 沿相同路径的行为类似于分别局域在势阱 $x_\pm$ 之一的半经典 $j$-节点态 $\psi_j^\pm(\hbar)$。特别地，若从上方绕过交叉参数 $\hbar_n$，则能级 $E_{2n+(1/2)\pm(1/2)}(\hbar)$ 沿实轴分别具有能级 $E_n^\mp(\hbar)$ 的半经典行为。这些结果通过节点控制得到。有证据表明，参数 $\hbar_n$ 在零处累积，且相应能量的累积点是称为 monochord 的 Stokes 复形子集的不稳定点，该子集由振动弦和共鸣板组成。