Leonard 三元组与超立方体

设 $V$ 为复数域 $\mathbb{C}$ 上的有限正维向量空间。$V$ 上的 Leonard 三元组是指 $V$ 上的一组有序线性算子，使得对于其中每个算子，都存在 $V$ 的一个基，在该基下表示该算子的矩阵是对角矩阵，而表示另外两个算子的矩阵是不可约三对角矩阵。设 $D$ 为正整数，$Q_D$ 表示 $D$ 维超立方体的图。设 $X$ 为 $Q_D$ 的顶点集，$A$ 为 $Q_D$ 的邻接矩阵。固定 $x \in X$，设 $A^*$ 为相应的对偶邻接矩阵。设 $T$ 为 $Mat_X(\mathbb{C})$ 中由 $A, A^*$ 生成的子代数。我们将 $T$ 称为关于 $x$ 的 $Q_D$ 的 Terwilliger 代数。矩阵 $A$ 和 $A^*$ 通过关系式 $2 \im A = A^* A^e - A^e A^*$ 和 $2 \im A^* = A^e A - A A^e$ 相关联，其中 $2 \im A^e = A A^* - A^* A$ 且 $\im^2=-1$。我们证明三元组 $A$, $A^*$, $A^e$ 在每个不可约 $T$-模上的作用构成一个 Leonard 三元组。我们给出了这些 Leonard 三元组的详细描述。