凸 Lefschetz 纤维化与凸稳定化中的 Legendrian 实现

本文研究了由 Seidel 引入并随后由 McLean 研究的维数为 $2n+2$ 的紧凸辛流形（即 Liouville 域）上的紧凸 Lefschetz 纤维化。根据 Akbulut-Arikan 的结果，由 $W$ 上的紧凸 Lefschetz 纤维化诱导的 $\partial W$ 上的开书分解（我们称之为\emph{凸开书分解}）携带了由 $W$ 上的凸辛结构（即 Liouville 结构）诱导的接触结构。在此我们证明，在 Liouville 同伦和 $W$ 上紧凸 Lefschetz 纤维化的变形下，$\partial W$ 上凸开书分解的某一页中任何单连通嵌入 Lagrangian 子流形，均可视为在具有诱导接触结构的 $\partial W$ 中是 Legendrian 的。这可被视为 Giroux 的 Legendrian 实现（适用于接触开书分解）在凸开书分解情形下的推广。此外，Akbulut-Arikan 的一个结果意味着凸开书分解的凸稳定化与相应紧凸 Lefschetz 纤维化的凸稳定化之间存在一一对应关系。我们还证明了 $W$ 上紧凸 Lefschetz 纤维化的凸稳定化会产生一个 Liouville 域 $W'$ 上的紧凸 Lefschetz 纤维化，该域 $W'$ 精确辛同胚于 $W$ 的\emph{正扩张}。特别地，具有诱导结构的 $\partial W$ 和 $\partial W'$ 是接触同胚的。