Lee-Yang零点与有界度图上铁磁Ising模型的复杂性

我们研究了在复平面单位圆上以外部场参数$\lambda$近似铁磁Ising模型配分函数的计算复杂性。Ising模型的复值参数与量子电路计算以及统计物理中的相变相关，而且也是Liu、Sinclair和Srivastava近期针对所有$|\lambda|\neq 1$的确定性近似方案的关键。此处，我们关注单位圆上未解决的复杂性图景，以及一个诱人的问题：在$\lambda=1$附近会发生什么——一方面Jerrum和Sinclair的经典算法在实轴上给出了随机近似方案，暗示易处理性；另一方面Lee-Yang零点的存在暗示计算困难。我们的主要结果在单位圆乃至整个单位圆上确立了点$\lambda=1$处的尖锐计算转变。对于整数$\Delta\geq 3$和边交互参数$b\in (0,1)$，我们证明了在最大度数为$\Delta$的图上，于Lee-Yang零点稠密的单位圆弧上近似配分函数是#P困难的。这一结果与已知当$|\lambda|\neq 1$或$\lambda$位于单位圆上围绕$1$的互补弧时的近似算法形成对比。因此，我们的工作直接建立了有界度图上Lee-Yang零点的存在/缺失与高效近似配分函数易处理性之间的联系。