不可压缩流与形状间测地线的最小作用量原理

正如 V. I. Arnold 在 1960 年代观察到的，不可压缩流体流动的欧拉方程形式上对应于保体积微分同胚群中的测地线方程。在欧拉框架下，我们将形状的非压缩流动研究为沿约束具有特征函数密度的传输路径的作用量（动能）的临界路径。该问题的形式测地线方程是在自由边界上具有零压力和表面张力的不可压缩无粘势流的欧拉方程。最小化该作用量的问题表现出与微滴形成相关的不稳定性，具有以下结果：任意两个等体积的形状可以通过 Euler 喷雾——椭球测地线的可数叠加——近似连接。作用量的下确界是 Wasserstein 距离的平方，并且除了一维外几乎从未达到。有紧支撑的有界密度之间的每个 Wasserstein 测地线都提供了（可压缩）无压欧拉系统的一个解，该解是（不可压缩）Euler 喷雾的弱极限。每个这样的 Wasserstein 测地线也是对应于与真空混合的不可压缩流体的双流体混合理论的一个松弛最小作用量原理的唯一极小化子。