学习弹性代价以塑造 Monge 位移

给定支撑于 $\mathbb{R}^d$ 上的源概率测度与目标概率测度，Monge问题要求找到将一个分布映射到另一个分布的最有效方式。这种效率通过定义源数据与目标数据之间的\textit{代价}函数来量化。在机器学习文献中，该代价常默认设为平方欧氏距离，$\ell^2_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=\tfrac12|\mathbf{x}-\mathbf{y}|_2^2$。最近，Cuturi等人'23强调了使用弹性代价的好处，其通过正则化项 $\tau$ 定义为 $c(\mathbf{x},\mathbf{y})=\ell^2_2(\mathbf{x},\mathbf{y})+\tau(\mathbf{x}-\mathbf{y})$。此类代价通过赋予Monge映射 $T$ 的\textit{位移}（即源点与其像之差 $T(\mathbf{x})-\mathbf{x})$）以匹配 $\tau$ 的近端算子结构，来塑造这些位移。本工作中，我们对弹性代价的研究作出两项重要贡献：(i) 对任意弹性代价，我们提出一种数值方法来计算可证明最优的Monge映射。这提供了一条备受需求的例程，可通过类比Brenier定理（该定理指出任意凸势的梯度总是 $\ell_2^2$ 代价下的有效Monge映射）来创建已知真实OT映射的合成问题；(ii) 我们提出一种损失来\textit{学习}参数化正则化项 $\tau_\theta$ 的参数 $\theta$，并将其应用于 $\tau_{A}(\mathbf{z})=|A^\perp \mathbf{z}|^2_2$ 的情形。该正则化项促使位移位于 $\mathbb{R}^d$ 的低维子空间上，该子空间由 $A\in\mathbb{R}^{p\times d}$ 的 $p$ 行张成。