埃伦费斯特瓮模型中长时间平均的大偏差

自1907年提出以来，埃伦费斯特瓮模型（EUM）一直作为统计力学关键概念的试验平台。本文利用该模型研究时间加和量的大偏差。我们考虑EUM的两个连续时间版本，具有$K$个瓮和$N$个球：分别为同一瓮内球之间无相互作用和有相互作用。我们评估概率分布$\mathcal{P}_T(\bar{n}= a N)$，即在一个瓮中随时间$T$的平均球数$\bar{n}$取任意指定值$aN$的概率，其中$0\leq a\leq 1$。对于长观测时间$T\to \infty$，成立Donsker-Varadhan大偏差原理：$-\ln \mathcal{P}_T(\bar{n}= a N) \simeq T I(a,N,K,\dots)$，其中$\dots$表示模型的附加参数。我们通过Donsker和Varadhan的两种不同方法精确计算速率函数$I(a,N,K, \dots)$，并将精确结果与WKB近似（Wentzel、Kramers和Brillouin之后）的变体所得结果进行比较。在无相互作用时，WKB对$I(a,N,K, \dots)$的预测对任意$N$都是精确的。在有相互作用时，WKB方法对$N\gg 1$给出渐近精确结果。WKB方法还揭示了系统的时间历史（非常简单），它主导了不同时间历史对$\mathcal{P}_T(\bar{n}= a N)$的贡献。