具有局部平均场相互作用的大型瓮模型分析

本文研究的随机模型描述了一组 $F_N$ 个相同小球散布到 $N$ 个瓮中的演化过程，这些瓮由常度 $h_N$ 的底层对称图连接。在经过某个随机时长后，任一瓮中的全部小球被局部重新分配至其邻域的 $h_N$ 个瓮中。小球的分配依据一组依赖于系统状态的权重随机进行。此背景的主要新颖之处在于：相互作用范围基数 $h_N$ 未必如经典平均场情形中那样关于 $N$ 线性，且由于同时重新分配一个瓮中的全部小球，过程的同步跳跃次数无界。该方法依赖于分析与给定瓮邻域内瓮状态相关的局部经验分布的演化。在适当条件下，通过采用恰当的 Wasserstein 距离并建立关于局部经验分布的若干技术性估计，我们能够证明平均场收敛结果。当每节点负载趋于无穷时，对于若干分配策略，获得了相关 McKean-Vlasov 过程不变分布的收敛结果。对于 $d$ 种选择策略类，我们证明了在此机制下其相关不变测度具有渐近有限支撑性质。该结果在某种程度上不同于文献中通常遇到的 $d$ 种选择策略的双指数衰减性质。