LaPON：基于拉格朼日茨均值定理的算子网络用于求解偏微分方程及其在Navier-Stock方程中的应用
计算物理
2025-05-20 v1 机器学习
摘要
在保持粗粒度时空分辨率下的准确性的同时加速求解非线性偏微分方程（PDE）是科学计算中的关键挑战。物理信息神经网络（PINN）等基于物理的机器学习方法通过损失函数引入先验知识以确保物理一致性，但其“软约束”通常不严格满足。本文提出LaPON，一种受拉格朼日茨均值定理启发的算子网络，将先验知识直接嵌入神经网络架构而非损失函数中，使网络自然满足给定约束。该方法为结合神经算子与传统数值方法的混合框架，其中神经算子用于补偿在低分辨率模拟中对分析尺度上的离散化误差的影响。在以Navier-Stock方程（NSE）建模的湍流问题上进行评估后，LaPON在8倍粗糙网格和8倍更大时间步长下的多步外推精度与稳定性均超过直接数值模拟基线，同时实现了与真实数据相符的湍流度相关性超过0.98。值得注意的是，该模型能够在无需重新训练的情况下良好地推广到未见过的流态，如不同强迫下的湍流。此外，在相同的训练数据下，LaPON在分布外测试集上的综合指标至少是两个流行机器学习基线方法的两倍。通过将数值计算与机器学习相结合，LaPON为高保真流体动力学仿真提供了可扩展且可靠的解决方案，展现了在气象预报和工程设计等领域广泛应用的潜力。
引用
@article{arxiv.2505.12360,
title = {LaPON: A Lagrange's-mean-value-theorem-inspired operator network for solving PDEs and its application on NSE},
author = {Siwen Zhang and Xizeng Zhao and Zhengzhi Deng and Zhaoyuan Huang and Gang Tao and Nuo Xu and Zhouteng Ye},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.12360},
year = {2025}
}