复杂网络的 Laplacian 谱及其上的随机游走：无标度架构真的重要吗？

我们研究了无关联随机网络的 Laplacian 算子，并作为应用，考虑了网络上的跳跃过程（扩散、随机游走、信号传播等）。我们针对这些问题发展了一种严格的方法。我们推导了一组精确的闭合积分方程组，它们给出了 Laplacian 算子预解式的平均值。这使我们能够描述网络上的信号传播和随机游走。我们表明，该问题中的决定性参数是网络中顶点的最小度 $q_m$，而度分布的高度部分并非那么重要。Laplacian 谱的下边缘位置 $\lambda_c$ 与配位数为 $q_m$ 的正则 Bethe 晶格中的相同。即，若 $q_m>2$，则 $\lambda_c>0$；若 $q_m\le2$，则 $\lambda_c=0$。在这两种情况下，当 $\lambda\to\lambda_c+0$ 时，特征值密度 $\rho(\lambda)\to0$，但在 $\lambda_c$ 附近的极限行为非常不同。用距起始顶点的距离来表示，跳跃传播子是一个稳定移动的 Gaussian 分布，随时间展宽。这一图像在定性上与正则 Bethe 晶格相吻合。我们的解析结果包括 $\lambda_c$ 附近的谱密度 $\rho(\lambda)$ 以及自关联函数和传播子的长时间渐近行为。