最优网络拓扑：扩展图、笼图、拉马努金图、纠缠网络及其他

我们报告了在寻找最优网络拓扑方面的一些最新进展。首先，我们回顾了谱图理论的一些基本概念，包括邻接矩阵和拉普拉斯矩阵，并特别关注大谱间隙的拓扑意义。我们还介绍了相关概念，如“扩展图”、拉马努金图和笼图。然后，我们讨论了网络的两种不同动力学特征：同步性和随机游走者的流动，并指出如果相应的拉普拉斯矩阵具有大的谱间隙，这些特征将得到优化。由此，我们通过开发一种数值优化算法表明，最大同步性和快速随机游走扩散是在一种特定类型的极其均匀的规则网络中实现的，这种网络具有长环和较差的模块化结构，我们称之为纠缠网络。这些网络被证明与拉马努金图和笼图相关。我们还论证了这些图是贝特晶格的非常好的有限尺寸近似，并为许多其他问题提供了几乎或接近最优的解决方案，例如，存在拥塞时的可搜索性或神经网络的性能。最后，我们研究了当研究由归一化（加权和有向）动力学控制的动力学过程时，这些结果如何被修改；在这种情况下，更异质的图是最优的。最后，对本工作的局限性和可能的扩展进行了批判性讨论。