$\R^n$ 中超曲面的 Laguerre 几何

$\R^3$ 中曲面的 Laguerre 几何见于 Blaschke [1] 的著作,且已被 E.Musso 与 L.Nicolodi [5]、[6]、[7]、B. Palmer [8] 及其他作者研究。本文研究 $\R^n$ 中超曲面的 Laguerre 微分几何。对任意具有非零主曲率且无脐点的超曲面 $x: M\to\R^n$,我们在 M 上定义 Laguerre 不变度量 $g$ 与 Laguerre 不变自伴算子 ${\mathbb S}: TM\to TM$,并证明 $\{g,{\mathbb S}\}$ 是 $n\ge 4$ 时 $\R^n$ 中超曲面的完备 Laguerre 不变系统。我们利用 Laguerre 不变量计算 Laguerre 度量之 Laguerre 体积泛函的 Euler-Lagrange 方程。利用欧氏空间 $\R^n$、Lorentz 空间 $\R^n_1$ 与退化空间 $\R^n_0$,我们定义三种 Laguerre 空间形式 $U\R^n$、$U\R^n_1$ 与 $U\R^n_0$,并定义 Laguerre 嵌入 $U\R^n_1\to U\R^n$ 与 $U\R^n_0\to U\R^n$,类似于 Moebius 几何中我们有 Moebius 空间形式 $S^n$、\H^n 与 $\R^n$(常曲率空间)及共形嵌入 \H^n\to S^n 与 $\R^n\to S^n$(见 [4]、[10])。利用这些 Laguerre 嵌入,我们可统一 $\R^n$、$\R^n_1$ 与 $\R^n_0$ 中超曲面的 Laguerre 几何。作为例子,我们证明 $\R^3_1$ 或 $\R_0^3$ 中的极小曲面在 $\R^3$ 中为 Laguerre 极小。