高维情形下 Lagrangian concordance 不是偏序

在这篇简短的注记中，我们给出了 $(4n+1)$ 维接触向量空间（$n>1$）中闭的、连通的 Legendrian 非同痕 Legendrian 子流形对 $(\Lambda_{-}, \Lambda_{+})$ 的例子，使得存在从 $\Lambda_-$ 到 $\Lambda_+$ 以及从 $\Lambda_+$ 到 $\Lambda_-$ 的 Lagrangian concordance。这与 Lagrangian concordance 关系的反对称性相矛盾，特别地，意味着具有连通 Legendrian 端的 Lagrangian concordance 在高维情形下不定义偏序。此外，我们解释了如何在 $(2n+1)$ 维接触向量空间（$n>1$）中，对由具有连通 Legendrian 端的精确 Lagrangian cobordism 给出的关系获得相同的结果。