标号二叉树、Catalan 构形的子构形与 Schur 正性

1995 年，第一作者引入了一个多元生成函数 $G$，用于追踪标号二叉树中上升与下降的分布。在证明 $G$ 是对称的之外，他还猜想 $G$ 具有 Schur 正性。我们通过将 $G$ 用带状 Schur 函数正展开证明了这一猜想。我们利用一个保权双射得到了该展开，其逆映射受 Préville-Ratelle 和 Viennot 的 Push-Glide 算法启发。事实上，该保权双射使我们能够建立第一作者猜想的一个更强版本，表明限制在具有固定冠层的标号二叉树上的生成函数仍具有 Schur 正性。我们还讨论了超平面构形背景下的应用。我们证明了 $G$ 的某一特定化等于半序构形区域上自然 $\mathfrak{S}_n$ 作用的 Frobenius 特征标，随后将其用 Foulkes 特征标的 Frobenius 特征标展开。我们还利用 Bernardi 研究的一组树，在 Linial 构形的区域上构造了一个 $\mathfrak{S}_n$ 作用，并随后运用 Lagrange 反演计算了该作用的特征标。所得表达式推广了 Postnikov 关于 Linial 构形区域数的公式。作为最后一个应用，我们证明了局部二叉搜索树中右边数分布的 $\gamma$ �非负性。