L1-ROC与R2-ROC：基于L1和R2的约化过配置方法用于参数化非线性偏微分方程
数值分析
2019-06-19 v1 数值分析
摘要
在优化等场景中反复求解某些参数化偏微分方程（pPDEs）的繁重任务，使得设计在不牺牲精度的前提下大幅高效的数值求解器成为必然。降基方法（RBM）正是这样一种选择。借助数学上严格的误差估计器，RBM在精心构建的参数诱导高保真解流形子空间中寻找代理解，利用离线-在线分解程序可将效率提升数个数量级。然而，当PDE非线性或参数依赖非仿射时，该分解通常通过经验插值方法（EIM）实现，其要么难以实现，要么严重损害在线效率。本文在求解pPDEs的背景下以两种不同方式改进并扩展EIM方法，从而得到约化过配置方法（ROC）。这些方法稳定，且能够避免直接应用EIM所固有的效率退化。这些方法包含两个要素。其一是将配置点数量取为代理空间基函数数量约两倍的策略。其二是为构建约化解空间而策略性选取参数值的高效方法，我们研究了两种选择：近期的经验L1方法以及基于约化残差的新指标。综上，这两个要素使得L1-ROC和R2-ROC方案在离线和在线时均具有在线高效性，且不受EIM对非线性与非仿射问题效率退化的影响。在三类不同非线性问题族上的数值测试表明了这些新算法的高效、准确及其优越的稳定性表现。
引用
@article{arxiv.1906.07349,
title = {L1-ROC and R2-ROC: L1- and R2-based Reduced Over-Collocation methods for parametrized nonlinear partial differential equations},
author = {Yanlai Chen and Sigal Gottlieb and Lijie Ji and Yvon Maday and Zhenli Xu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1906.07349},
year = {2019}
}