面向多尺度问题与大规模 PDE 约束优化的自适应降基方法

本论文展示了模型降阶方法的最新进展，其主要目标是为参数化多尺度现象构建在线高效的降阶替代模型，并加速大规模 PDE 约束参数优化方法。特别地，我们提出了几种不同的自适应 RB（降基）方法，可用于误差感知的信赖域框架中，以逐步构建在认证的外层优化循环中所使用的替代模型。此外，我们详细阐述了针对信赖域降基（TR-RB）算法的若干不同增强，并将其推广至参数约束情形。得益于降阶模型的后验误差估计，所得算法可视为相对于高保真模型是认证的。而且，我们采用先优化后离散的方法，以最大程度利用问题的底层最优性系统。在论文的第一部分，理论基于全局 RB 技术，其使用精确的 FEM 离散化作为高保真模型。在第二部分，我们聚焦于局部化模型降阶方法，并为局部正交分解（LOD）多尺度方法开发了一种新颖的在线高效降阶模型。该降阶模型内部基于 LOD 的双尺度表述，并且特别地，独立于 LOD 的粗离散化和细离散化。论文的最后一部分致力于将 TR-RB 方法与 LOD 的局部化 RB 方法这两方面的成果相结合。为此，我们提出了一种在信赖域局部化降基（TR-LRB）算法框架中使用自适应局部化降基方法的算法。其基本思想遵循 TR-RB，但完全避免了相关系统的 FEM 计算。