使用归约基方法快速求解带非仿射参数化边界条件的线性化 Poisson-Boltzmann 方程

Poisson-Boltzmann 方程（PBE）是出现在生物分子建模中的一个非线性椭圆型偏微分方程，也是结构生物学的基本工具。它用于计算浸入离子溶液中的固定电荷系综周围的静电势。PBE 的高效数值计算在所得代数方程组中产生大量自由度。加上在大多数情况下 PBE 需要针对大量系统配置多次求解的事实，这给传统数值技术带来了巨大的计算挑战。为了加速此类计算，我们在此提出归约基方法（RBM），该方法通过构建通常低维的降阶模型来极大地降低这种计算复杂度。在本研究中，我们采用 PBE 的一个简单版本进行概念验证，并用中心差分格式离散线性化 PBE（LPBE）。所得线性系统在三维笛卡尔网格上的不同离子强度样本下，通过基于聚合的代数多重网格方法求解。离散化的 LPBE，我们称之为高保真全阶模型（FOM），产生与其他 LPBE 求解器一样准确的解。然后我们将 RBM 应用于 FOM。将离散经验插值方法（DEIM）应用于与参数非仿射的 Dirichlet 边界条件，以降低降阶模型（ROM）的复杂度。从数值结果中，我们注意到 RBM 在 $10^{-9}$ 的精度下将模型阶数从 $\mathcal{N} = 2\times 10^{6}$ 降低到 $N = 6$，并将计算时间减少了约 $7,600$ 倍。另一方面，DEIM 也用于求解 ROM 针对不同参数值的离线-在线阶段，为贪心算法的单次迭代提供了 $20$ 倍的加速。