Banach 空间中的 $L$-正交性、八面体性与 Daugavet 性质

与可分情形相反，我们证明了非可分 Banach 空间 $X$ 中几乎 $L$-正交向量的存在性（八面体性）并不蕴含 $X^{**}$ 中存在与 $X$ 为 $L$-正交的非零向量，这表明 [9] 中一个环境问题的答案是否定的。此外，我们证明了密度特征为 $\omega_1$ 的 Banach 空间 $X$ 中几乎 $L$-正交向量的丰富性（几乎 Daugavet 性质）蕴含 $X^{**}$ 中与 $X$ 为 $L$-正交的非零向量的丰富性。事实上，我们得到密度特征为 $\omega_1$ 的 Banach 空间 $X$ 满足 Daugavet 性质当且仅当 $X^{**}$ 中与 $X$ 为 $L$-正交的向量集在 $X^{**}$ 中弱星稠密。我们还证明了在 CH 下，上述刻画对具有更大密度特征的 Banach 空间是不成立的。最后，获得了关于 $L$-嵌入空间中 Daugavet 性质的一些推论。