动态采样中的 Krylov 子空间方法

设 $B$ 是 $\mathbb C^d\simeq l^2(\mathbb Z_d)$ 上的一个未知线性演化过程，驱动一个未知初始状态 $x$，并在不同时间层产生状态 $\{B^\ell x, \ell = 0,1,\ldots\}$。本文所考虑的问题是从测量值 $Y=\{x(i)$, $Bx(i)$, $\dots$, $B^{\ell_i}x(i): i \in \Omega\subset \mathbb Z^d\}$ 中获取尽可能多的关于 $B$ 和 $x$ 的信息。如果 $B$ 是一个“低通”卷积算子，我们证明，只要将文献 \cite{ADK13} 中恢复由已知算子 $B$ 传播的信号所需的时间样本量加倍，我们就能几乎必然地恢复 $B$ 和 $x$。对于一般算子 $B$，我们可以从 $Y$ 中恢复其部分甚至全部频谱。作为我们方法的一个特例，我们推导出了具有数百年历史的 Prony 方法 \cite{BDVMC08, P795, PP13}，该方法能从 $2s$ 个连续分量中恢复一个具有 $s$-稀疏 Fourier 变换的向量。