从少量散乱样本高效恢复非周期多元函数

已有若干作者观察到，诸如帐篷变换或切比雪夫变换等著名的周期化策略，在从少量样本恢复多元函数方面取得了显著效果。迄今为止，尚缺乏理论保证。本文的目标有两个。一方面，我们给出此类保证并简要描述相关证明的困难。另一方面，我们将这些周期化策略与近期用于$\mathbb{C}$中有限框架高效子采样的新颖构造方法相结合。由此，我们能够从极少量样本重建非周期多元函数。所用的采样节点由两步过程得到。首先，依据切比雪夫测度的随机抽取提供初始节点集。进一步的稀疏化技术从中选取一个显著更小的子集，且具备相同的逼近性质。该采样节点集的规模随我们所投影子空间的维数线性增长，并对整个函数类普遍适用。该方法基于 Batson、Spielman 和 Srivastava 发展的原理，并可数值实现。随后，这些节点上的样本被用于在一个合适的双曲交叉函数子空间上执行（普通）最小二乘采样恢复步骤，使采样误差呈现近最优行为。数值实验表明了我们所提结果的适用性。