构造多元切比雪夫多项式张成空间的高效空间离散化
数值分析
2025-03-26 v1 数值分析
摘要
针对任意给定的高维多元切比雪夫多项式张成空间，提出了一种构造空间离散化的方法，即构造一个采样集，使得该张成空间中的每个多项式都能被唯一重建。本文提出的方法结合了三种不同类型的效率。首先，空间离散化的构造应相对于切比雪夫多项式张成空间的维数具有高效性。其次，所构造离散化中的采样节点数量应高效，即过采样因子应合理。第三，应存在一种高效方法，用于从离散化采样节点处的给定采样值唯一重建多项式。前两种效率也存在于基于随机采样节点的构造中，但缺乏结构导致重建方法效率低下。我们的方法使用余弦变换秩-1格点的组合，其结构允许在重建算法中应用单变量快速傅里叶变换，因此先验地可高效实现。除了对采样节点数量和由于随机抽取所用格点导致的失败概率进行理论估计外，我们还提出了基本设计方法的若干改进，显著提高了其实用性。数值实验对依赖于多达50多个空间变量的多元切比雪夫多项式张成空间进行了离散化，验证了理论结果及改进的重要性。
引用
@article{arxiv.2406.03281,
title = {Constructing efficient spatial discretizations of spans of multivariate Chebyshev polynomials},
author = {Lutz Kämmerer},
journal= {arXiv preprint arXiv:2406.03281},
year = {2025}
}