含输入非线性系统的 Koopman 形式

Koopman 框架通过一般无限维的全局线性嵌入给出有限维非线性系统的线性表示。最初，Koopman 形式体系是针对自治系统导出的。在含输入系统的应用中，通常假定 Koopman 模型为线性时不变（LTI）形式，因其便于使用如线性二次调节与模型预测控制等控制技术。然而容易证明，该假定不足以刻画底层非线性系统的动力学。针对具有线性或控制仿射输入的驱动连续时间系统的恰当理论推广近期才被给出，但向离散时间系统及一般连续时间系统的推广尚未建立。本文中，我们系统研究并解析推导了较广泛一类非线性系统在连续与离散时间下含输入的提升形式。我们证明所得提升表示给出状态转移为线性、但输入矩阵变为状态依赖（离散时间情形下为状态和输入依赖）的 Koopman 模型，从而引出底层系统的一种特殊结构线性变参数（LPV）描述。我们还给出输入矩阵依赖性对所得表示贡献程度以及系统行为可被 LTI Koopman 表示逼近程度的误差界。所引入的理论洞见极大有助于在基于 Koopman 模型的系统辨识中执行恰当的模型结构选择，以及为通过 Koopman 方法控制非线性系统而在 LTI 或 LPV 技术间做出恰当抉择。