矩阵的扭结等价、曲面、4-流形与二次型

对于 $S^3$ 中给定的纽结，所有棋盘曲面通过同痕以及“扭结”和“解扭结”移动相关联，这些移动以如下方式改变曲面的 Goeritz 矩阵：$G\leftrightarrow G\oplus [\pm1]=\left[\begin{smallmatrix} G&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}^T&\pm1 \end{smallmatrix}\right]$。如果两个对称整数矩阵通过“扭结”和“解扭结”移动 $G\leftrightarrow G\oplus [\pm1]$ 以及幺模合同相关联，我们称它们为“扭结等价的”。我们构造性地证明了每个非奇异对称整数矩阵都扭结等价于一个正定矩阵和一个负定矩阵，并给出了所需移动次数的界限。这有几个推论，例如 $S^3$ 中的每个纽结都“在伪解扭结移动意义下是交错纽结”，并且每个具有非奇异相交配对的单连通闭拓扑 4-流形都有一个正爆破，该正爆破同胚于一个正定单连通闭拓扑 4-流形的负爆破。