基于核自适应的PI-ELM方法用于求解具有尖锐梯度的偏微分方程的正向与反向问题
机器学习
2025-11-25 v2
摘要
物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）和物理信息极端学习机（Physics-Informed Extreme Learning Machines, PI-ELMs）等基于物理的机器学习框架在求解偏微分方程（PDEs）方面展现出巨大潜力，但由于谱偏差和单次、非自适应形式，难以处理局部尖锐梯度和奇异扰动 regime。我们提出了核自适应物理信息极端学习机（Kernel-Adaptive Physics-Informed Extreme Learning Machine, KAPI-ELM），其通过对支撑径向基函数（RBF）中心和宽度所构成的低维、可解释的超参数空间进行贝叶斯优化，将高维权重优化转化为低维分布搜索，从而实现对尖锐梯度区域的针对性核细化，同时通过调节 RBF 支撑域改善光滑流动 regime 中的基线解。对 KAPI-ELM 在包含尖锐梯度的基准正向与反向问题（1 维对流扩散和 2 维泊松方程）上的验证表明，其能够准确解析陡峭层，提升光滑解的保真度，并稳健地恢复物理参数，匹配或超越扩展函数连接理论（extended Theory of Functional Connections, X-TFC）等先进方法，所需可调参数数量接近一个数量级。通过基于课程学习的稳定 Navier-Stokes 方程解法演示了对非线性问题的扩展，通过连续线性化实现，成功求解基准的 lid-driven cavity flow，Reynolds 数可达 100。这些结果表明，KAPI-ELM 为求解正向和反向偏微分方程提供了一种高效且统一的方法，尤其适用于具有挑战性尖锐梯度 regime。
引用
@article{arxiv.2507.10241,
title = {Kernel-Adaptive PI-ELMs for Forward and Inverse Problems in PDEs with Sharp Gradients},
author = {Vikas Dwivedi and Balaji Srinivasan and Monica Sigovan and Bruno Sixou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.10241},
year = {2025}
}