求解多尺度偏微分方程的基于软划分的 KAPI-ELM
机器学习
2026-01-14 v1
摘要
物理知情机器学习在求解微分方程方面具有巨大潜力，然而由于谱偏倚、高昂的反向传播成本以及手动调优的核或傅里叶频率，现有方法在处理高度振荡、多尺度或奇异摄动偏微分方程(PDE)时仍面临困难。本研究引入了一种基于软划分的核自适应物理知情极限学习机(Kernel-Adaptive Physics-Informed Extreme Learning Machine, KAPI-ELM)，这是一种确定性的低维参数化方法，其中平滑划分长度共同控制配置点中心和高斯核宽度，无需傅里叶特征、随机采样或硬域界面即可实现从粗到细的连续分辨率。基于符号距离的加权进一步稳定了不规则几何上的最小二乘学习。在八个基准测试中——包括振荡常微分方程、高频泊松方程、不规则形状域以及刚性奇异摄动对流扩散问题——所提方法仅需单次线性求解，其精度便匹配或超越了最先进的物理知情神经网络(Physics-Informed Neural Network, PINN)与泛函连接理论(Theory of Functional Connections, TFC)变体。尽管在稳态线性 PDE 上进行了演示，结果表明软划分核自适应为多尺度 PDE 提供了一种快速、与架构无关的方法，在未来物理知情建模中具有广泛潜力。为便于复现，参考代码可在 https://github.com/vikas-dwivedi-2022/soft_kapi 获取。
引用
@article{arxiv.2601.08719,
title = {Soft Partition-based KAPI-ELM for Multi-Scale PDEs},
author = {Vikas Dwivedi and Monica Sigovan and Bruno Sixou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.08719},
year = {2026}
}