PI-MFM：用于求解偏微分方程的物理先验多模态基础模型
机器学习
2025-12-30 v1 计算物理
摘要
偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs) 支配着广泛的物理系统，近期多模态基础模型在跨不同方程族学习 PDE 解算子方面展现出了潜力。然而，现有的多算子学习方法需要大量数据，且在训练过程中忽略了物理学。在此，我们提出了一种物理先验多模态基础模型 (Physics-informed Multimodal Foundation Model, PI-MFM) 框架，该框架在预训练和适应阶段直接强制执行控制方程。PI-MFM 将 PDE 的符号表示作为输入，并通过向量化导数计算从输入表达式自动组装 PDE 残差损失。这些设计使得任何编码 PDE 的多模态基础模型能够跨方程族使用统一的物理先验目标进行训练或适应。在包含 13 个参数化一维时间依赖 PDE 族的基准测试中，PI-MFM 始终优于纯数据驱动的同类模型，尤其是在标记时空点稀疏、时间域部分观测或标记函数对较少的情况下。物理损失进一步提高对噪声的鲁棒性，而诸如重采样配置点等简单策略则显著提高了准确性。我们还分析了 PI-MFM 内部用于导数计算的自动微分和有限差分的准确性、精度和计算成本。最后，我们展示了对未见 PDE 族的零样本物理先验微调：从物理先验预训练模型出发，仅使用 PDE 残差和初始/边界条件进行适应，无需任何标记解数据，即可将测试误差快速降至约 1%，并明显优于从头开始的纯物理训练。这些结果表明，PI-MFM 为数据高效、可迁移的 PDE 求解器提供了一条实用且可扩展的路径。
引用
@article{arxiv.2512.23056,
title = {PI-MFM: Physics-informed multimodal foundation model for solving partial differential equations},
author = {Min Zhu and Jingmin Sun and Zecheng Zhang and Hayden Schaeffer and Lu Lu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.23056},
year = {2025}
}