$\mathbb{R}^{d+1}$中康托尔方向集上的Kakeya型集合

给定$\mathbb R^{d+1}$中光滑曲线上的一个康托尔型子集$\Omega$，我们构造了包含方向来自$\Omega$的单位线段的集合示例，这些集合具有与经典Kakeya集相似的解析特征，且$(d+1)$维勒贝格测度可任意小。该构造基于依赖于$\Omega$树结构的概率方法，并将Bateman和Katz的类似平面结果推广到更高维。特别地，此类集合的存在意味着与方向集$\Omega$关联的方向极大算子在$L^p(\mathbb{R}^{d+1})$上对所有$1\leq p<\infty$无界。