与广义缺项集相关极大算子的一个估计

设 $\Omega$ 为平面上任意方向（单位向量）集。本文研究在 $\Omega$ 方向上计算的一维极大函数的极大算子。我们感兴趣于将方向缺项集扩展为我们称之为 $N$--lacunary 的集合类（对整数 $N$）。我们采用归纳法。称 $\Omega$ 是 1--lacunary 当且仅当 $\Omega$ 是一个通常的向量缺项集。每一个 $N+1$--lacunary 集均可由某个 $N$--lacunary 集 $\Omega_N$ 通过向其添加一些点得到。在每两个相邻点 $a,b\in\Omega_N$ 之间，我们可以添加一个 1--lacunary 序列（有限或无限）。我们证明对所有 $N$ 缺项集 $\Omega$，$$\|M_\Omega f(x)\|_2\lesssim{}N \|f\|_2.$$ 注意每个含 $N$ 个点的集合 $\Omega$ 是 $(C\log N)$--lacunary 的。于是我们得到了 N. Katz 的一个定理 \cite{Katz2}。当前不等式与 Katz 的结果都是 Alfonseca、Soria 和 Vargas \cites{ASV2} 一般结果的推论。我们给出当前证明作为对这一不等式简洁且自包含的处理。