余图的 (k; l)-染色与 Ferrers 图表示

对于一对自然数 $k, l$，图 $G$ 的 $(k,l)$-染色是将 $G$ 的顶点集划分为（可能为空）的集合 $S_1, S_2, \dots, S_k$, $C_1, C_2, \dots, C_l$，使得每个集合 $S_i$ 是独立集且每个集合 $C_j$ 在 $G$ 中导出团。一般的 $(k,l)$-染色问题是 NP-完全的，已在弦图、余图和线图等特殊图类上被研究。令 $\hat{\kappa}(G) = (\kappa_0(G),\kappa_1(G),\dots,\kappa_{\theta(G)-1}(G))$ 且 $\hat{\lambda}(G) = (\lambda_0(G),\lambda_1(G),\dots,\lambda_{\chi(G)-1}(G))$，其中 $\kappa_l(G)$（相应地，$\lambda_k(G)$）是使得 $G$ 具有 $(k,l)$-染色的最小 $k$（相应地，$l$）。我们证明了对每个图 $G$，$\hat{\kappa}(G)$ 和 $\hat{\lambda}(G)$ 是一对共轭序列，且当 $G$ 为余图时，$G$ 中的顶点数等于 $\hat{\kappa}(G)$ 或 $\hat{\lambda}(G)$ 中各项之和。利用余图的分解性质，我们证明了每个余图都可由 Ferrers 图表示。我们设计了计算余图 $G$ 的 $\hat{\kappa}(G)$ 的算法，并找到 $G$ 中可用于证明 $G$ 非 $(k,l)$-可染的诱导子图。