对任意 k 均存在不可满足的线性 k-CNF
离散数学
2007-08-20 v1 计算复杂性
计算机科学中的逻辑
摘要
如果任意两个子句至多有一个公共变量，则称 CNF 公式为线性的。令 Linear k-SAT 为判定给定线性 k-CNF 公式是否可满足的问题。此处，k-CNF 公式是指每个子句大小恰好为 k 的 CNF 公式。已知对于 k >= 3，当且仅当存在不可满足的线性 k-CNF 公式时，Linear k-SAT 是 NP 完全的，且已知对于 k >= 4 此类公式确实存在。我们证明了对任意 k 都存在不可满足的线性 k-CNF 公式。令 f(k) 为不可满足线性 k-CNF 公式中的最小子句数。我们表明 f(k) 为 Omega(k2^k) 且 O(4^k*k^4)，即最小规模的不可满足线性 k-CNF 公式显著大于最小规模的不可满足 k-CNF 公式。最后，我们令人惊讶地证明，线性 k-CNF 公式并不允许比一般 k-CNF 公式更高比例的子句被满足。
引用
@article{arxiv.0708.2336,
title = {Unsatisfiable Linear k-CNFs Exist, for every k},
author = {Dominik Scheder},
journal= {arXiv preprint arXiv:0708.2336},
year = {2007}
}
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