高维二分量子态的 $k$-可扩展性

通过寻找给定二分态的对称扩展来探测其纠缠的想法最初由 Doherty、Parrilo 和 Spedialeri 提出。它所产生的可分性检验的完整族，常被称为 $k$-可扩展性 ($k$-extendibility) 检验的层级，已被证明极有前景。本文旨在尝试量化该可分性判据在典型场景下的效率。为此，我们主要采取两种途径。首先，我们计算 $k$-可扩展态集合的平均宽度，以观察其如何随可分态集合的宽度缩放。其次，我们刻画了随机诱导态何时依赖于辅维度而以高概率违反或不违反 $k$-可扩展性检验，并将所得结果与纠缠对可分性的相应结果进行比较。主要结果可精确表述如下：在 $\mathbf{C}^d\otimes\mathbf{C}^d$ 上，当 $d$ 增大时，$k$-可扩展态集合的平均宽度等价于 $(2/\sqrt{k})/d$，而作为均匀分布的纯态在环境 $\mathbf{C}^s$ 上的偏迹所获得的随机态，若 $s<((k-1)^2/4k)d^2$，则以趋于 $1$ 的概率违反 $k$-可扩展性检验。两个陈述都归结到如下结论：若 $k$ 固定，$k$-可扩展性在渐近意义下是可分性的弱近似，尽管一旦 $k$ 超过某个（独立于维度的）值，任何其它被充分研究的可分性松弛都被 $k$-可扩展性所超越。