结构矩阵代数的 Jordan 嵌入与线性秩保持者

我们考虑 $n \times n$ 复矩阵代数 $M_n$ 中包含所有对角矩阵的子代数 $\mathcal{A}$，在文献中被称为结构矩阵代数（SMA）。设 $\mathcal{A} \subseteq M_n$ 为任意一个 SMA。我们首先证明，$\mathcal{A}$ 中任意可对角化矩阵的交换族可以被内在地同时对角化（即相应的相似变换可选自 $\mathcal{A}$）。利用这一点，我们随后刻画了一个 SMA 何时 Jordan 嵌入另一个 SMA，并在该情况下描述了此类 Jordan 嵌入的形式。作为推论，我们得到了 SMA 的 Jordan 自同构的描述，推广了 Coelho 关于其代数自同构的结果。接下来，受 Marcus-Moyls 和 Molnar-\v{S}emrl 分别将线性秩一保持者与 Jordan 嵌入 $M_n \to M_n$ 和 $\mathcal{T}_n \to M_n$（其中 $\mathcal{T}_n$ 是 $n \times n$ 上三角矩阵代数）相联系的结果的启发，我们证明了任何线性幺元秩一保持者 $\mathcal{A} \to M_n$ 必然是一个 Jordan 嵌入。由于逆命题一般不成立，我们还给出了其成立的一个充分必要条件。最后，我们得到了线性秩保持者 $\mathcal{A} \to M_n$ 的完整描述，即形如 $X\mapsto S\left(PX + (I-P)X^t\right)T$ 的映射，其中 $S,T \in M_n$ 为可逆矩阵，$P\in\mathcal{A}$ 为中心幂等元。