对称 $4\times4$ 矩阵的雅可比方法对所有循环枢轴策略均收敛

本文研究大小为 $4$ 的对称矩阵雅可比方法的全局收敛性。我们证明所有 $720$ 种循环枢轴策略的全局收敛性。确切地，我们证明不等式 $S(A^{[t+3]})\leq\gamma S(A^{[t]})$, $t\geq1$ 成立，其中常数 $\gamma<1$ 既不依赖于矩阵 $A$ 也不依赖于枢轴策略。这里 $A^{[t]}$ 表示经过 $t$ 次完整雅可比循环后从 $A$ 得到的矩阵，$S(A)$ 是 $A$ 的非对角范数。我们说明了为何必须考虑三个连续循环。该结果在 $J$-雅可比方法上有直接应用。