$T\mathbb{S}^n$ 上的各向同性亚流形及其焦点集

通过将其识别为 $T\mathbb{S}^n$ 的子流形来研究 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中各向异线的集合。特别是，正交于 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中亚流形的各向异线的集合被证明刻画了它们相对于 $T\mathbb{S}^n$ 上标准辛结构的各向同性。随后研究切向于 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中 $k$ 维亚流形的线的集合。对于此类集合，各向同性等价于生成向量场在亚流形上是测地线且反标量的。引入 $T\mathbb{R}^{n+1}$ 中线族的焦点集，扩展了针对正交于超曲面的线族的经典定义，以适用于任意维数的亚流形的线族。推导了一个公式，用以表达焦点集的某些截面曲率，以相应焦点之间的有符号距离为依据。随后我们解了一个关于超曲面焦点集的逆问题，证明某些截面和 Ricci 曲率由超曲面半径曲率之差决定。这一结果推广了 1874 年 Bianchi 定理——即常数星形度数的曲面具有伪球形焦点集。