随机洛伦兹气体的不变性原理——超越玻尔兹曼-格拉德极限

我们证明了在玻尔兹曼-格拉德极限与同时的扩散缩放下，3 维 \emph{随机洛伦兹气体} 粒子的不变性原理。即，对于在按密度为 $\varrho$ 的泊松点过程放置的、质量为无穷、硬核、半径为 $r$ 的球形散射体之间运动的点状粒子的轨迹，在极限 $\varrho\to\infty$、$r\to0$、$\varrho r^{2}\to1$ 下，直至 $T=o(r^{-2}{|\log r|}^{-2})$ 量级的时间尺度。据我们所知，这代表了自 Gallavotti (1969)、Spohn (1978) 与 Boldrighini-Bunimovich-Sinai (1983) 的开创性工作以来，在严格求解经典非平衡统计物理这一问题上取得的首次显著进展。新颖之处在于粒子轨迹的扩散缩放与动力学（玻尔兹曼-格拉德）极限是同时取的。主要要素是将力学轨迹与马尔可夫随机飞行过程相耦合，以及对该耦合效率的概率与几何控制。类似结果此前已由 Komorowski-Ryzhik (2006) 以及 Erd\H os-Salmhofer-Yau (2007) 分别对经典与量子随机洛伦兹气体的弱耦合极限获得。然而，我们的工作与这些工作之间存在以下实质差异：(1) 物理设定不同：低密度而非弱耦合。(2) 研究方法不同：概率耦合而非解析/微扰。(3) 由于 (2)，我们的扩散近似的有效时间尺度——以动力学时间尺度表示——更长且完全显式。