有限函数的不变群与置换群的轨道等价性

对称群 $S_n$ 的哪些子群可以作为定义在 $k$ 元域上的 $n$ 元函数的不变群出现？似乎 $n-k$ 的差值越大，回答这个问题就越困难。对于 $k \ge n$，答案很简单：$S_n$ 的所有子群都是不变群。我们在 $k=n-1$ 和 $k=n-2$ 的情况下给出了完整的答案，并在一般情况下给出了部分答案：当 $n$ 远大于 $n-k$ 时，我们描述了不变群。证明利用了 Galois 连接以及 $S_n$ 上相应的闭包算子，事实证明这提供了置换群轨道等价性的推广。我们还展示了一些计算结果，表明除了交错群之外的所有本原群都作为定义在三元域上的函数的不变群出现。