随机对合复合的循环结构

本文研究对称群 $S_n$ 中均匀随机选取的对合对复合的循环结构。这些复合可建模为修正的 2-正则图，从而产生指数生成函数。$S_n$ 中两个随机对合的复合通常有约 $n^{1/2}$ 个循环，且这些循环的特征长度为 $n^{1/2}$。另一方面，两个随机无不动点对合的复合通常有约 $\log n$ 个循环，且与所有循环长度均为偶数的置换密切相关。随机置换分解为两个对合的因子分解数似乎渐近服从对数正态分布，我们针对一个密切相关的概率模型证明了这一点。本研究的动机源于观察到 $[n]$ 中对合的数量为 $(n!)^{1/2}$ 乘以一个次指数因子；更一般地，所有循环长度均属于有限集 $S$ 的置换数量为 $n!^{1-1/m}$ 乘以一个次指数因子，且 $k$-循环的典型数量接近 $n^{k/m}/k$。还考虑了对合中模式避免的关联问题。