不变生成与 Houghton 群

Houghton 群 $H_1, H_2, \ldots$ 是一族无限群。1975 年 Wiegold 证明了 $H_3$ 是不变生成（IG）的，但 $H_1\le H_3$ 不是。一个自然的问题是，群 $H_2, H_3, \ldots$ 是否都是 IG。Wiegold 还最后提到，在他所发现的 IG 群含有非 IG 子群的例子中，该子群从未是有限指数的。另一个自然的问题是，在 $H_3$ 中是否存在有限指数且非 IG 的子群。在本注记中，我们证明对每个 $n\in \{2, 3, \ldots\}$，$H_n$ 及其所有有限指数子群都是 IG。Minasyan 与 Goffer-Lazarovich 在 2020 年 6 月的独立工作很好地框定了本注记：他们证明了 IG 群可以有一个有限指数且非 IG 的子群。