$\mathcal{A}$-ODE 理论导论

我们研究交换有限维实含幺结合代数 $\mathcal{A}$ 上的常微分方程理论。我们将此类问题称为 $\mathcal{A}$-ODE。如果一个函数是实可微的且其微分在 $\mathcal{A}$ 的正则表示中，我们就称该函数是 $\mathcal{A}$-可微的。在本文中，我们证明了存在性与唯一性定理，推导了 Wronskian 行列式的 Abel 公式，并确立了许多 $\mathcal{A}$-ODE 的基本解集的存在性。我们证明了基本解集的 Wronskian 行列式不能是零因子。给出了求解非退化常系数 $\mathcal{A}$-ODE 的三种方法。首先，我们展示了零因子如何通过算子的因式分解使求解复杂化。其次，展示了到直积的同构如何产生有趣的解。第三，我们的扩展技术被证明可以求解任何非退化 $\mathcal{A}$-ODE；我们通过在特征扩展代数上选取指数函数的分量函数来找到基本解集。通过对适当的指数函数应用一些抽象代数，扩展技术产生了通常分析中出现的所有初等函数。另一方面，我们展示了零因子如何在退化 $\mathcal{A}$-ODE 中破坏存在性与唯一性。我们还研究了 $\mathcal{A}$-微积分的 Cauchy Euler 问题，并指出了如何求解一阶 $\mathcal{A}$-ODE。