四元数 Banach 空间中算子幂的定义域之间的插值

在经典的复谱理论中，谱与 $\lambda-A:D(A)\subseteq X_\mathbb{C}\rightarrow X_\mathbb{C}$ 的可逆性相关；而在非交换四元数 $S$ 谱理论中，则利用二阶多项式 $Q_s(T):=T^2-2\text{Re}(s)T+|s|^2:D(T^2)\subseteq X\rightarrow X$ 的可逆性来定义 $S$ 谱，其中 $X$ 是四元数 Banach 空间。本文将考虑四元数算子 $T$，使得至少有一条射线 $\{te^{i\omega}\;|\;t>0\}$，$\omega\in[0,\pi]$，$i\in\mathbb{S}$ 包含在 $S$ 预解集中，且逆算子 $Q_s^{-1}(T)$ 在该射线上具有某种衰减性质。利用 $K$ 插值方法，我们证明只要 $n<k<m\in\mathbb{N}_0$，$T$ 的 $k$ 次幂的定义域 $D(T^k)$ 就是 $D(T^n)$ 和 $D(T^m)$ 之间的中间空间。此外，还通过伪 $S$ 预解算子 $Q_s^{-1}(T)$ 的可积性条件，给出了插值空间 $(X,D(T^n))_{\theta,p}$，$\theta\in(0,1)$，$p\in[1,\infty]$ 的刻画。