范畴拓扑中的内部对称群

Lawvere 引入了范畴论中普遍概念的相互可定义性。某些范畴中对象与箭头之间的完美相互可定义性定义了完美对称范畴 (PSC) 的类别，其中每个范畴都可以仅通过其箭头或仅通过其对象来等价表示。这种对称性不同于全局范畴对称性（即所有逗号传播变换的范畴对称群 $CS(\mathbb{Z})$），而是定义在给定 PSC 范畴内部的局部内部对称性。给定一个 PSC 范畴（作为“几何对象”）$\textbf{C}$，我们可以考虑在特定内射函子 $E$ 的作用下保持不变的其属性（即范畴的交换图）。我们展示了这种类型的内部范畴不变性是局部范畴对称性现象，其内部范畴对称群 $ICS(\mathbb{N})$ 包含所有局部内射函子变换。随后我们建立了这种局部内部对称性与 n 维层次之间的全局一般对称性（即从 PSC 范畴 $\textbf{C}$ 中获得的逗号范畴）之间的关系。我们表明，如果基准范畴 $\textbf{C}$ 是 PSC，则其所有 n 维层次也都是 PSC。