末通渗流中测地线西瓜的交错与标度指数

在离散平面末通渗流（LPP）中，独立地向$\mathbb Z^2$中每个顶点赋予随机值，并将$\mathbb Z^2$中每条有限正路径的权重定义为其顶点值之和。一组不相交路径的权重为其各成员权重之和。测地线（两顶点间最大权重路径）的概念对多条不相交路径有自然推广：在$[1,n]^2\cap\mathbb Z^2$中的$k$-测地线西瓜是该正方形内包含的$k$条不相交路径的集合，且在所有此类集合中权重最大。尽管这种集合的权重已知为重要对象，但除$k=1$外，这些最大权重路径在很大程度上未被探索。对于可精确求解的模型，如指数与几何LPP，众所周知当$k=1$时支配权重与横向距离涨落的指数分别为$1/3$与$2/3$；即，典型地，从$(1,1) \to (n,n)$的测地线权重围绕形如$\mu n$的主导线性增长以$n^{1/3}$量级涨落；且测地线距对角线的最大欧氏距离为$n^{2/3}$量级。假设一种强但局部的凸性形式，以及测地线权重剖面的一点中等偏差界——后者在所有已知可精确求解模型中均具备——我们确立：典型地，$k$-测地线西瓜的权重以$k^{5/3}n^{1/3}$量级低于$\mu nk$，且其横向涨落为$k^{1/3}n^{2/3}$量级。我们的论证关键依赖并发展了西瓜所满足的显著确定性交错性质。我们的方法还对自然关联的点过程给出锐刚性估计，改进了在可积情形下借助行列式点过程理论工具所得的估计。