干净格点平行四边形的内部凸包与连分数

格点多边形的内部凸包是多边形内部格点集的凸闭包。本文给出了干净格点平行四边形内部凸包的具体描述。$\mathbb{R}^2$中的干净平行四边形是指边界上除顶点外不含其他格点的格点平行四边形。利用幺模映射，我们可以将干净平行四边形与一个平行四边形$P_{a,n}$等同，其顶点为$(0,0), (1,0), (a,n)$和$(a+1,n)$，其中$0<a<n$且$\gcd(a,n)=1$。遵循Stark对连分数的几何方法，我们证明了$n/a$的连分数的收敛子（视为格点）与该平行四边形内部凸包的顶点之间存在一一对应关系。因此，如果$n/a$的连分数有许多部分商，则相应平行四边形的内部凸包有许多顶点。我们工作的一个令人满意的结果是得到了$n/a$的连分数部分商之和的初等几何解释。具体而言，它是干净平行四边形$P_{a,n}$的面积与其内部凸包面积之差。