可积族、3×3 约束系统及参数化与尖峰定常解

本文给出一个新的非线性演化方程可积族。DP 方程: $m_t+um_x+3mu_x=0, m=u-u_{xx}$,由 Desgaperis 与 Procesi 最近提出 \cite{DP[1999]},是负向族中的第一个,而正向族中的第一个是:\ $m_t=4(m^{-{2/3}})_x-5(m^{-{2/3}})_{xxx}+ (m^{-{2/3}})_{xxxxx}$。通过求解一个关键矩阵方程,证明整个族是 Lax 可积的。为获得整个族的参数化解,我们分别讨论了负向与正向族。对负向族,其 $3\times3$ Lax 对及相应伴随表示被非线性化,在 $\R^{6N}$ 的辛子流形上定义的所谓 Dirac-Poisson 括号下成为 Liouville 可积的哈密顿正则系统。基于这些有限维正则哈密顿系统的可积性,我们给出负向族中所有方程的参数化解。特别地,我们得到了 DP 方程的参数化解。此外,对正向族,我们考虑不同的约束并采用类似于负向情形的步骤得到正向族的参数化解。特别地,我们给出五阶偏微分方程 $m_t=4(m^{-{2/3}})_x-5(m^{-{2/3}})_{xxx}+ (m^{-{2/3}})_{xxxxx}$ 的参数化解。最后,我们讨论该五阶偏微分方程的定常解,并特别给出其四个尖峰定常解。定常解可包含在参数化解中,但尖峰定常解不能。该五阶偏微分方程虽看似更高阶的 Harry-Dym 方程,却不具尖孤子。