可积嵌入与叶状结构

设 $M$ 为 $n$ 维开流形，$L$ 为 $k$ 维子流形。若存在浸没 $\Phi:M\to R^{n-k}$ 使得 $L\subset \Phi^{-1}(0)$ [分别地，$L= \Phi^{-1}(0)$]，则称 $L$ 为弱可积 (WI) [分别地，强可积 (SI)]。本文研究以下问题（该问题最初由 Costa 等人 (Invent. Math. 1988) 在特例中提出）：开流形 $M$ 的哪些子流形 $L$ 是 WI 或 SI？对于一般 $M$，我们显式地解决了 $k=n-1$ 的情形，并给出了子流形在更高余维下为 WI 和 SI 的充要条件。作为特例，我们恢复了 Bouma 和 Hector (Indagationes Math. 1983) 的定理（断言任何可定向开曲面在 $\mathbb{R}^3$ 中都是 SI），以及 Watanabe 和 Miyoshi 的定理 (Topology 1993 和 1995)（断言任何链环在开 3 维流形中都是 WI）。在 $M=\mathbb{R}^n$ 的情形下，我们完全刻画了 WI 和 SI 子流形，给出了不是 WI 的 3 维和 7 维流形的例子，并证明了 Miyoshi (Topology 1995) 的一个定理（断言 $\mathbb{R}^3$ 中任何链环都是 SI）一般不成立。我们还证明了 Miyoshi 定理的正确类比，这特别蕴含了 $\mathbb{R}^3$ 中不存在 SI 的纽结这一惊人结果。将我们的结果应用于欧氏空间叶状结构理论，得到了一些引人注目的推论：利用某些拓扑不变量，我们分类了 $\mathbb{R}^n$ 中所有可实现为叶状结构真叶的子流形；我们证明了 $S^3$ 可实现为 $\mathbb{R}^n$ ($n\geq 7$) 中叶状结构的一片叶，但不能在 $\mathbb{R}^5$ 或 $\mathbb{R}^6$ 中实现，这部分回答了 Vogt (Math. Ann. 1993) 的一个问题；我们构造了不能成为任何紧 4 维流形叶状结构之叶、但却是 $\mathbb{R}^4$ 中真叶的开 3 维流形。WI 和 SI 子流形理论是一个框架，其中许多微分拓扑和代数拓扑的经典工具（如 $h$-原理、完全交以及浸入和嵌入理论）发挥着重要作用。