复方阵空间上的内积

本文研究了在复方阵空间 $\Mn$ 上寻找内积显式表达式的问题。我们证明，给定 $\Mn$ 上的一个内积 $\lip \cdot, \cdot \rip$，在满足某些条件的情况下，存在正矩阵 $A_j$ 和 $B_j \in \Mn$（其中 $j=1, 2\dots, m$），使得对于所有 $X, Y \in \Mn$，有 $$\lip X, Y \rip = \sum_{j=1}^m \tr\left(Y^* A_j X B_j \right),$$ 然而，我们指出该结果并不适用于所有内积。事实上，如果上述表达式不成立，我们证明存在正矩阵 $A_j$ 和 $B_j \in \Mn$（其中 $j=1, 2\dots, m$），使得对于所有 $X, Y \in \Mn$，有 $$\lip X, Y \rip = -\tr\left(Y^* A_1 X B_1 \right)+ \sum_{j=2}^m \tr\left(Y^* A_j X B_j \right),$$