${\ell}^{\infty}(\Gamma)$ 上的单射卷积算子是满射

设 $\Gamma$ 为离散群，$f \in \ell^1(\Gamma)$。我们观察到，若自然卷积算子 $\rho_f:\ell^{\infty}(\Gamma)\to \ell^{\infty}(\Gamma)$ 是单射，则 $f$ 在 $\ell^1(\Gamma)$ 中可逆。通过利用代数 $\ell^1(\Gamma)$ 的直接有限性，我们的证明简化并推广了 Deninger 和 Schmidt 预印本中的计算。我们给出简单例子说明一般而言不能将 $\ell^{\infty}$ 替换为 $\ell^p$（$1\leq p< \infty$），也不能替换为非离散 $G$ 上的 $L^{\infty}(G)$。最后，我们考虑将主要结果推广到 $\Gamma$ 上加权卷积算子的情况，并给出若干部分结果。